一. 三角函數(shù)類
- 化簡(jiǎn)求值問題
- 步驟一：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式
- 利用三角函數(shù)的基本公式，如兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（\(\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B\)，\(\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B\)，\(\tan(A\pm B)=\frac{\tan A\pm\tan B}{1\mp\tan A\tan B}\)）以及二倍角公式（\(\sin2A = 2\sin A\cos A\)，\(\cos2A=\cos^{2}A - \sin^{2}A = 2\cos^{2}A-1 = 1 - 2\sin^{2}A\)，\(\tan2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}\)）將給定的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\)或\(y = A\cos(\omega x+\varphi)+k\)的形式。
- 步驟二：根據(jù)已知條件求參數(shù)
- 若已知函數(shù)的最值，可根據(jù)\(A\)與最值的關(guān)系（當(dāng)\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\)時(shí)，最大值為\(A + k\)，最小值為\(-A + k\)）求出\(A\)和\(k\)的值。
- 由函數(shù)的周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)（對(duì)于\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\)或\(y = A\cos(\omega x+\varphi)+k\)）求出\(\omega\)的值。
- 再根據(jù)給定的特殊點(diǎn)（如函數(shù)過某一點(diǎn)\((x_{0},y_{0})\)）代入函數(shù)式求出\(\varphi\)的值。
- 步驟三：代入求值
- 將所求的參數(shù)值代入化簡(jiǎn)后的函數(shù)式，再根據(jù)題目要求計(jì)算函數(shù)值、求自變量的值等。
- 解三角形問題
- 步驟一：利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化
- 已知兩角和一邊（如\(A\)、\(B\)和\(c\)），先用三角形內(nèi)角和\(C=\pi-(A + B)\)求出第三個(gè)角\(C\)，再根據(jù)正弦定理\(\frac{a}{\sin A}=\frac{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)求出另外兩邊\(a\)和\(b\)。
- 已知兩邊和夾角（如\(a\)、\(b\)和\(C\)），利用余弦定理\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\)求出第三邊\(c\)，再根據(jù)正弦定理求出其他角。
- 已知三邊\(a\)、\(b\)、\(c\)，利用余弦定理\(\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)，\(\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)，\(\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)求出三個(gè)角。
- 步驟二：計(jì)算三角形的面積（如果需要）
- 可以使用面積公式\(S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sin A\)來計(jì)算三角形的面積。

二. 數(shù)列類
- 等差數(shù)列問題
- 步驟一：求通項(xiàng)公式\(a_{n}\)
- 若已知首項(xiàng)\(a_{1}\)和公差\(d\)，根據(jù)通項(xiàng)公式\(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d\)直接求出。
- 若已知數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n}\)，利用\(a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}(n\geq2)\)，再驗(yàn)證\(n = 1\)時(shí)的情況求出通項(xiàng)公式。
- 步驟二：求前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n}\)
- 根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d\)求出\(S_{n}\)。
- 等比數(shù)列問題
- 步驟一：求通項(xiàng)公式\(a_{n}\)
- 若已知首項(xiàng)\(a_{1}\)和公比\(q\)，根據(jù)通項(xiàng)公式\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)求出。
- 若已知數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n}\)，當(dāng)\(q = 1\)時(shí)，\(S_{n}=na_{1}\)，\(a_{n}=a_{1}\)；當(dāng)\(q\neq1\)時(shí)，利用\(a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}(n\geq2)\)，再結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出\(a_{n}\)。
- 步驟二：求前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n}\)
- 當(dāng)\(q = 1\)時(shí)，\(S_{n}=na_{1}\)；當(dāng)\(q\neq1\)時(shí)，根據(jù)等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}\)求出\(S_{n}\)。
- 數(shù)列求和問題（非等差、等比數(shù)列）
- 步驟一：判斷數(shù)列類型并選擇合適的求和方法
- 若數(shù)列是裂項(xiàng)相消型，如\(a_{n}=\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}\)，將數(shù)列的每一項(xiàng)拆分成兩項(xiàng)之差的形式。
- 若數(shù)列是錯(cuò)位相減型，如\(a_{n}=b_{n}\times c_{n}\)，其中\(zhòng)(b_{n}\)是等差數(shù)列，\(c_{n}\)是等比數(shù)列，就采用錯(cuò)位相減法。
- 步驟二：按照所選方法進(jìn)行求和
- 裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的各項(xiàng)展開后，中間的項(xiàng)可以相互抵消，最后得到一個(gè)簡(jiǎn)單的表達(dá)式。例如，\(\sum_{n = 1}^{N}\frac{1}{n(n + 1)}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{N}-\frac{1}{N + 1}) = 1-\frac{1}{N + 1}\)。
- 錯(cuò)位相減法：設(shè)\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\)，寫出\(qS_{n}\)（\(q\)是等比數(shù)列部分的公比），然后兩式相減，化簡(jiǎn)求出\(S_{n}\)。

三. 概率與統(tǒng)計(jì)類
- 古典概型問題
- 步驟一：確定基本事件總數(shù)\(n\)
- 仔細(xì)分析試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，計(jì)算出基本事件的總數(shù)。例如，從\(m\)個(gè)元素中取出\(n\)個(gè)元素的組合數(shù)\(C_{m}^{n}\)等方式來計(jì)算基本事件數(shù)。
- 步驟二：確定事件\(A\)包含的基本事件數(shù)\(m\)
- 明確所求事件\(A\)的具體情況，數(shù)出事件\(A\)包含的基本事件個(gè)數(shù)。
- 步驟三：計(jì)算概率\(P(A)\)
- 根據(jù)古典概型概率公式\(P(A)=\frac{m}{n}\)計(jì)算出概率。
- 離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差問題
- 步驟一：確定離散型隨機(jī)變量\(X\)的取值
- 根據(jù)題目情境，找出隨機(jī)變量\(X\)所有可能的取值。例如，在拋擲骰子的試驗(yàn)中，設(shè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為\(X\)，則\(X\)的取值為\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)。
- 步驟二：求出每個(gè)取值的概率\(P(X = k)\)
- 通過分析試驗(yàn)過程和概率原理，計(jì)算出\(X\)取每個(gè)值的概率。例如，在上述骰子試驗(yàn)中，\(P(X = k)=\frac{1}{6}(k = 1,2,\cdots,6)\)。
- 步驟三：列出分布列
- 按照分布列的格式，將\(X\)的取值和對(duì)應(yīng)的概率列成表格形式。
- 步驟四：計(jì)算期望\(E(X)\)和方差\(D(X)\)
- 根據(jù)期望公式\(E(X)=\sum_{k}kP(X = k)\)和方差公式\(D(X)=\sum_{k}(k - E(X))^{2}P(X = k)\)進(jìn)行計(jì)算。
- 頻率分布直方圖問題
- 步驟一：讀取數(shù)據(jù)
- 從頻率分布直方圖中讀取組距、各組的頻率（頻率等于該組對(duì)應(yīng)的小長(zhǎng)方形的面積）等信息。
- 步驟二：計(jì)算相關(guān)統(tǒng)計(jì)量
- 計(jì)算樣本容量\(n\)（若已知某組的頻率\(f\)和該組的頻數(shù)\(m\)，則\(n=\frac{m}{f}\)）。
- 估計(jì)總體的平均數(shù)\(\overline{x}\)（\(\overline{x}=\sum_{i}x_{i}p_{i}\)，其中\(zhòng)(x_{i}\)是組中值，\(p_{i}\)是頻率）、中位數(shù)（使得左右兩邊的面積各為\(0.5\)的那條豎線對(duì)應(yīng)的數(shù)值）、眾數(shù)（最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值）等。

四. 解析幾何類
- 直線與圓的問題
- 步驟一：求直線方程或圓方程
- 若求直線方程，已知直線過點(diǎn)\((x_{0},y_{0})\)且斜率為\(k\)，則根據(jù)點(diǎn)斜式\(y - y_{0}=k(x - x_{0})\)寫出直線方程；若已知直線的兩點(diǎn)\((x_{1},y_{1})\)，\((x_{2},y_{2})\)，則根據(jù)兩點(diǎn)式\(\frac{y - y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x - x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)求直線方程。
- 若求圓的方程，已知圓心\((a,b)\)和半徑\(r\)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)寫出圓方程；若已知圓的一般方程\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0\)，通過配方等方式化為標(biāo)準(zhǔn)方程來確定圓心和半徑。
- 步驟二：分析位置關(guān)系（相交、相切、相離）
- 直線與圓的位置關(guān)系：計(jì)算圓心到直線的距離\(d\)（對(duì)于直線\(Ax + By+C = 0\)和圓心\((a,b)\)，\(d=\frac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)），若\(d\lt r\)，則直線與圓相交；若\(d = r\)，則直線與圓相切；若\(d\gt r\)，則直線與圓相離。
- 圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓的圓心分別為\(O_{1}(x_{1},y_{1})\)，\(O_{2}(x_{2},y_{2})\)，半徑分別為\(r_{1}\)，\(r_{2}\)，計(jì)算圓心距\(d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\)，若\(d\gt r_{1}+r_{2}\)，則兩圓相離；若\(d = r_{1}+r_{2}\)，則兩圓外切；若\(\vert r_{1}-r_{2}\vert\lt d\lt r_{1}+r_{2}\)，則兩圓相交；若\(d=\vert r_{1}-r_{2}\vert\)，則兩圓內(nèi)切；若\(d\lt\vert r_{1}-r_{2}\vert\)，則兩圓內(nèi)含。
- 步驟三：求解相關(guān)問題（弦長(zhǎng)、交點(diǎn)坐標(biāo)等）
- 弦長(zhǎng)問題：若直線與圓相交，弦長(zhǎng)\(l = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)（\(r\)是圓的半徑，\(d\)是圓心到直線的距離）。
- 求交點(diǎn)坐標(biāo)：聯(lián)立直線方程和圓方程，解方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)。
- 圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）問題
- 步驟一：求圓錐曲線方程
- 橢圓：若已知橢圓的焦點(diǎn)在\(x\)軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)\)，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)\((\pm c,0)\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）和其他條件（如過某點(diǎn)等）求出\(a\)、\(b\)的值；若焦點(diǎn)在\(y\)軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)\)。
- 雙曲線：焦點(diǎn)在\(x\)軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，焦點(diǎn)在\(y\)軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)（如漸近線方程\(y=\pm\frac{a}x\)等）和已知條件求出\(a\)、\(b\)的值。
- 拋物線：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)位置（如焦點(diǎn)在\(x\)軸正半軸的方程為\(y^{2}=2px(p\gt0)\)）和已知條件（如過某點(diǎn)等）求出\(p\)的值。
- 步驟二：設(shè)直線方程并與圓錐曲線方程聯(lián)立
- 設(shè)直線方程為\(y = kx + m\)（當(dāng)直線斜率存在時(shí)）或\(x = my + n\)（當(dāng)考慮直線斜率不存在的情況或避免討論斜率是否存在時(shí)），然后與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去\(y\)或\(x\)，得到一個(gè)一元二次方程\(Ax^{2}+Bx + C = 0\)或\(Ay^{2}+By + C = 0\)。
- 步驟三：利用韋達(dá)定理求解問題
- 由韋達(dá)定理\(x_{1}+x_{2}=-\frac{B}{A}\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{C}{A}\)（或\(y_{1}+y_{2}=-\frac{B}{A}\)，\(y_{1}y_{2}=\frac{C}{A}\)），結(jié)合題目要求計(jì)算弦長(zhǎng)（弦長(zhǎng)公式\(\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\vert x_{1}-x_{2}\vert=\sqrt{(1 + k^{2})[(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}]}\)）、中點(diǎn)坐標(biāo)（中點(diǎn)橫坐標(biāo)\(x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\)，縱坐標(biāo)\(y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\)）、面積等問題。