在奧數(shù)領(lǐng)域，列方程乃是一種極為重要的解題方式。其能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題以代數(shù)的形式予以呈現(xiàn)，通過(guò)對(duì)方程的求解得出未知數(shù)的值，進(jìn)而解決相應(yīng)問(wèn)題。此種方法可以將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系清晰地展露出來(lái)，尤其在涉及多個(gè)未知量以及復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的題目中適用性極強(qiáng)。

1. 列方程問(wèn)題的重要性
在奧數(shù)中，列方程是一種非常重要的解題方法。它可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題用代數(shù)的形式表示出來(lái)，通過(guò)解方程求出未知數(shù)的值，從而解決問(wèn)題。這種方法能夠?qū)?shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系清晰地展現(xiàn)出來(lái)，尤其適用于涉及多個(gè)未知量以及復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系的題目。例如，在行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、年齡問(wèn)題、濃度問(wèn)題等多種奧數(shù)題型中，列方程都是一種高效的解題手段。

2. 列方程的步驟
設(shè)未知數(shù)：這是列方程的第一步。通?？梢愿鶕?jù)題目中的問(wèn)題或者數(shù)量關(guān)系來(lái)設(shè)未知數(shù)。設(shè)未知數(shù)有直接設(shè)元和間接設(shè)元兩種方式。
直接設(shè)元：如果題目要求的量比較明確，就可以直接設(shè)這個(gè)量為未知數(shù)。例如，“一個(gè)數(shù)的3倍加上5等于14，求這個(gè)數(shù)”，可以直接設(shè)這個(gè)數(shù)為\(x\)，則方程為\(3x + 5=14\)。
間接設(shè)元：當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不容易列出方程時(shí)，可以考慮間接設(shè)元。比如在“甲、乙兩人的速度之和是10米/秒，甲走完全程比乙走完全程多用2秒，已知路程為60米，求甲、乙兩人的速度”這個(gè)問(wèn)題中，直接設(shè)甲或乙的速度為未知數(shù)列出方程可能會(huì)比較復(fù)雜，此時(shí)可以設(shè)甲走完全程所用的時(shí)間為\(x\)秒，則乙走完全程所用的時(shí)間為\((x - 2)\)秒，根據(jù)速度 = 路程÷時(shí)間，可列出方程\(\frac{60}{x}+\frac{60}{x - 2}=10\)。
找出等量關(guān)系：這是列方程的關(guān)鍵步驟。等量關(guān)系是指題目中表示兩個(gè)量相等的語(yǔ)句或者數(shù)學(xué)表達(dá)式。常見(jiàn)的等量關(guān)系有以下幾種：
和差關(guān)系：如“甲和乙的和是10”，可表示為\(甲+乙 = 10\)；“甲比乙多3”，可表示為\(甲-乙 = 3\)。
倍數(shù)關(guān)系：例如“甲是乙的2倍”，可表示為\(甲 = 2×乙\)。
行程問(wèn)題中的等量關(guān)系：路程 = 速度×時(shí)間。如果是相遇問(wèn)題，等量關(guān)系通常是“甲走的路程+乙走的路程 = 總路程”；如果是追及問(wèn)題，等量關(guān)系是“快者走的路程-慢者走的路程 = 兩者最初的距離”。
工程問(wèn)題中的等量關(guān)系：工作總量 = 工作效率×工作時(shí)間。一般會(huì)有“甲的工作量+乙的工作量 = 工作總量”這樣的等量關(guān)系。
列出方程并求解：根據(jù)找出的等量關(guān)系，將所設(shè)的未知數(shù)代入其中，列出方程。然后通過(guò)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等操作解方程，求出未知數(shù)的值。例如，對(duì)于方程\(3x + 5=14\)，首先移項(xiàng)得到\(3x=14 - 5\)，即\(3x = 9\)，然后兩邊同時(shí)除以3，解得\(x = 3\)。

3. 列方程問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解法
行程問(wèn)題
相遇問(wèn)題：例如，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲的速度是\(v_1\)，乙的速度是\(v_2\)，經(jīng)過(guò)\(t\)時(shí)間相遇，A、B兩地的距離為\(s\)。根據(jù)“甲走的路程+乙走的路程 = 總路程”這一等量關(guān)系，可列出方程\(v_1t+v_2t = s\)。
追及問(wèn)題：甲、乙兩人同向而行，甲的速度是\(v_1\)，乙的速度是\(v_2\)（\(v_1>v_2\)），開(kāi)始時(shí)兩人相距\(s_0\)，經(jīng)過(guò)\(t\)時(shí)間甲追上乙。根據(jù)“快者走的路程-慢者走的路程 = 兩者最初的距離”，可列出方程\(v_1t - v_2t=s_0\)。
工程問(wèn)題：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要\(x\)天完成，乙單獨(dú)做需要\(y\)天完成，兩人合作需要\(z\)天完成。把工作總量看作單位“1”，則甲的工作效率是\(\frac{1}{x}\)，乙的工作效率是\(\frac{1}{y}\)，根據(jù)“甲的工作量+乙的工作量 = 工作總量”，可列出方程\((\frac{1}{x}+\frac{1}{y})z = 1\)。
年齡問(wèn)題：例如，父親今年\(x\)歲，兒子今年\(y\)歲，經(jīng)過(guò)\(n\)年后，父親的年齡是兒子年齡的\(m\)倍。根據(jù)年齡的增長(zhǎng)規(guī)律，可列出方程\(x + n=m(y + n)\)。
濃度問(wèn)題：有兩種不同濃度的溶液，一種溶液的質(zhì)量是\(m_1\)，濃度是\(c_1\)，另一種溶液的質(zhì)量是\(m_2\)，濃度是\(c_2\)，混合后溶液的濃度是\(c\)。根據(jù)“溶質(zhì)質(zhì)量 = 溶液質(zhì)量×濃度”，混合前后溶質(zhì)的質(zhì)量不變，可列出方程\(m_1c_1+m_2c_2=(m_1 + m_2)c\)。

4. 奧數(shù)題型：列方程問(wèn)題

【含義】把題目中的未知數(shù)用字母X代替，列出等量關(guān)系式，解出X的問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】方程等號(hào)左右兩邊是等量關(guān)系。

【解題思路】可以概括為“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”六字法。

審：認(rèn)真審題，找出已知條件和待求問(wèn)題。

設(shè)：將未知數(shù)設(shè)為X。

列：根據(jù)已知條件，列出方程。

解：求解所列方程。

驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的等量關(guān)系及求解過(guò)程是否正確。

答：寫答語(yǔ)，回答題目所問(wèn)。

【例】甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人？

解：設(shè)乙班有X人，則甲班有（90-X）人，

根據(jù)等量關(guān)系可以列如下方程

90-X=2X-30

解方程得X=40，從而得90-40=50

答：甲班50人，乙班40人。

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